Bài 83 trang 90 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(E,\) \(F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\) \(CD.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE,\) \(N\) là giao điểm của \(BF\) và \(CE.\) Chứng minh rằng :

\(a)\) \(EMFN\) là hình bình hành.

\(b)\) Các đường thẳng \(AC,\) \(EF,\) \(MN\) đồng quy.

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác \(AECF,\) ta có:

\(AB // CD\;\; (gt)\)

hay \(AE // CF\)

\(AE  = \displaystyle {1 \over 2}AB\;\;(gt)\)

\(CF = \displaystyle {1 \over 2}CD \;\;(gt)\)

\(AB = CD\) (tính chất hình bình hành)

Suy ra: \(AE = CF\)

Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau)

\(⇒ AF // CE\) hay \(EN // FM \;\;(1)\)

Xét tứ giác \(BFDE\) ta có:

\(AB // CD \;\;(gt)\) hay \(BE // DF\)

\(BE = \displaystyle {1 \over 2}AB\;\; (gt)\)

\(DF = \displaystyle  {1 \over 2}CD\;\; (gt)\)

\(AB = CD\) ( tính chất hình bình hành)

Suy ra: \(BE = DF\)

Tứ giác \(BFDE\) là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

\(⇒ BF // DE\) hay \(EM // FN \;\;(2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành (theo định nghĩa)

\(b)\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(EF\)

Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành \(⇒ OE = OF\)

Tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Suy ra: \(MN\) đi qua trung điểm \(O\) của \(EF\)

Vậy \(AC, EF, MN \) đồng quy tại \(O.\)