Bài 67 trang 105 Vở bài tập toán 7 tập 2

Đề bài

Cho \(A, B\) là hai điểm phân biệt và \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)

a) Ta kí hiệu \({P_A}\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) có chứa điểm \(A\) (không kể đường thẳng \(d\)). Gọi \(N\) là một điểm của \({P_A}\) và \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(NB\) và \(d.\) Hãy so sánh \(NB\) với \(NM + MA;\) từ đó suy ra \(NA < NB.\)

b) Ta kí hiệu \({P_B}\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) có chứa điểm \(B\) (không kể điểm \(d\)). Gọi \(N’\) là một điểm của \({P_B}.\) Chứng minh rằng \(N’B < N’A.\)

c) Gọi \(L\) là một điểm sao cho \(LA < LB.\) Hỏi điểm \(L\) nằm ở đâu, trong \({P_A},{P_B}\) hay trên \(d\)?

Lời giải chi tiết

a) \(M \in d\) nên \(MA = MB\) (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Do đó : \(NB = NM + MB = NM + MA\) (1)

Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác, trong tam giác \(AMN\), ta có:

\(NM + MA>NA\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(NA < NB\).

b) Gọi \(M'\) là giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(N'A\).

Chứng minh tương tự a, ta có \(M' \in d\) nên \(M'A = M'B\) (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Do đó \(N'A = N'M' + M'A = N'M' \)\(\,+ M'B\) (3)

Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác , trong tam giác \(N'M'B\) ta có: \( N'M' + M'B>N'B\)   (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(N'B < N'A\).

c) Nếu  \(L \in d\) thì \(LA = LB\) (theo tính chất đường trung trực).

Nếu \(L \in P_B\) thì \(LA > LB\) (theo câu b)

Vậy để \(LA <LB\) thì \(L \in P_A\)