Bài 64 trang 103 Vở bài tập toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(MNP\) với đường trung tuyến \(MR\) và trọng tâm \(Q.\)

a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác \(MPQ\) và \(RPQ.\)

b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác \(MNQ\) và \(RNQ.\)

Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác \(QMN, QNP, QPM\) có cùng diện tích.

Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung chiều cao.

Lời giải chi tiết

a) Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có  \(MQ = 2QR.\)

Hai tam giác \(MPQ\) và \(RPQ\) có đáy \(MQ=2QR\) và có chung chiều cao kẻ từ \(P\) xuống \(MQ\) nên \( S_{MPQ}= 2S_{ RPQ}\) (1), hay \(\dfrac{S_{MPQ}}{S_{RPQ}} = 2 \)

b) Hai tam giác \(MNQ\) và \(RNQ\) có đáy \(MQ=2QR\) và có chung chiều cao kẻ từ \(N\) xuống \(MR\) nên \( S_{MNQ}= 2S_{ RNQ}\) (2), hay \(\dfrac{S_{MNQ}}{S_{RNQ}} = 2 \)

c) Hai tam giác \(RPQ\) và \(RNQ\) có đáy \(NR=RP\) (giả thiết) và có chung chiều cao kẻ từ \(Q\) xuống \(PN\) nên \({S_{RPQ}} = {S_{RQN}}\)

\({S_{QNP}} = {S_{RPQ}} + {S_{RQN}}= 2{S_{RPQ}} \)\(\,= 2{S_{RQN}}\)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \({S_{QMN}} ={S_{QNP}} ={S_{MPQ}}\).