Giải bài 6 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị các hàm số sau: a) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) và \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);


Đề bài

Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) và \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);

b) \(y = \cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và \(y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải:

a) Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi  - \alpha  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha  = m\).

Đặc biệt: \(\sin u = \sin v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = \pi  - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x =  - \alpha  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha  = m\).

Đặc biệt: \(\cos u = \cos v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u =  - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) và \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\) là:

\(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} - x + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = \pi  - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên là: \(x = \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right),x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và \(y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\) là:

\(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x - \frac{\pi }{4} =  - \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{48}} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên là: \(x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{\pi }{{48}} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Bài giải tiếp theo
Giải bài 7 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 8 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 9 trang 32 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải bài 10 trang 32 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Video liên quan



Từ khóa