Bài 4.47 trang 209 SBT giải tích 12

Đề bài

Cho \(z\) là một số phức tùy ý. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline z \)

B. \(z\) thuần ảo \( \Leftrightarrow z + \overline z  = 0\)

C. \(\dfrac{z}{{\overline z }} - \dfrac{{\overline z }}{z} \in \mathbb{R}\left( {z \ne 0} \right)\)

D. \({z^3} + {\left( {\overline z } \right)^3} \in \mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Đáp án A: \(z = \overline z  \Leftrightarrow a + bi = a - bi \Leftrightarrow b = 0\) hay \(z \in \mathbb{R}\).

A đúng.

Đáp án B: \(z + \overline z  = 0 \Leftrightarrow a + bi + a - bi = 0\) \( \Leftrightarrow a = 0\) hay \(z = bi\) là số thuần ảo.

B đúng.

Đáp án D: Xét \(w = {z^3} + {\left( {\overline z } \right)^3}\) thì \(\overline w  = \overline {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}} \) \( = \overline {{z^3}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^3}}  = {\left( {\overline z } \right)^3} + {z^3} = w\)

Vậy \(\overline w  = w\) hay \(w = {z^3} + {\left( {\overline z } \right)^3} \in \mathbb{R}\).

D đúng.

Chọn C.