Bài 4.44 trang 208 SBT giải tích 12

Đề bài

Tìm số phức z thỏa mãn: \(|z - (2 + i)| = \sqrt {10} \)  và \(z.\overline z  = 25\)

(Đề thi đại học năm 2009, khối B)

Lời giải chi tiết

Đặt \(z = x  + yi\).

Ta có: \(|z - (2 + i)| = \sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \sqrt {10} \) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10\)

Lại có \(z.\overline z  = 25\)\( \Leftrightarrow \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right) = 25\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 25\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10\\{x^2} + {y^2} = 25\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 5 = 10\\{x^2} + {y^2} = 25\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 25\\2x + y = 10\end{array} \right.\)

Ta có: \(2x + y = 10 \Leftrightarrow y = 10 - 2x\) thay vào phương trình trên ta được:

\({x^2} + {\left( {10 - 2x} \right)^2} = 25\) \( \Leftrightarrow 5{x^2} - 40x + 75 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5 \Rightarrow y = 0\\x = 3 \Rightarrow y = 4\end{array} \right.\)

Đáp số: \(z = 5\) và \(z = 3 + 4i\).