Bài 4.39 trang 171 SBT đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng phương trình

LG a

\({x^5} - 3x - 7 = 0\) luôn có nghiệm ;

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) =  - 7,f\left( 2 \right) = 19\) \( \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 2 \right) < 0\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;2} \right)\).

LG b

\(\cos 2x = \sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - {\pi  \over 6};\pi } \right)\) ;

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) và \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]\)

Ta có:

\(f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\) \( = \cos \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2 = \dfrac{7}{2}\)

\(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) =  - 1\)

\(f\left( \pi  \right) = 3\)

\( \Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right).f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).f\left( \pi  \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\).

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\pi } \right)\).

LG c

\(\sqrt {{x^3} + 6x + 1}  - 2 = 0\) có nghiệm dương.

Lời giải chi tiết:

Ta có,

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr} \)

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6x - 3\) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1]              (1)

Ta có \(f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) =  - 3.4 < 0\)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x - 3 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1}  - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm dương.