Bài 4.38 trang 171 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{\sqrt x - 1} \over {{x^2} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 1 \hfill \cr 
{m^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 1 \hfill \cr} \right.\)  liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết

Trên \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{{x^2} - 1}}\) là hàm phân thức nên liên tục.

Tại \(x = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {\sqrt 1  + 1} \right)}} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Để hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì nó liên tục tại \(x = 1\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = {m^2} \Leftrightarrow m =  \pm \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(m =  \pm \dfrac{1}{2}\).