Bài 41 trang 11 SBT toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức:

LG câu a

\(\sqrt {\dfrac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \) (\(x ≥ 0\));

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với \(A \ge 0\) thì \(A = \sqrt {{A^2}} \) 

Và \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) 

Với \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)

với \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\).

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

\({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

\({(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(x ≥ 0\) nên \( x = {\left( {\sqrt x } \right)^2}\)

Ta có: 

\( \displaystyle\eqalign{
& \sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \cr 
& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1} \over {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + 2\sqrt x + 1}}} \cr 
& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \cr} \)

\( \displaystyle \displaystyle= {{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} }}\) 

\( = \dfrac{{\left| {\sqrt x  - 1} \right|}}{{\left| {\sqrt x  + 1} \right|}} = \dfrac{{\left| {\sqrt x  - 1} \right|}}{{\sqrt x  + 1}}\)  

+) Nếu \( \displaystyle\sqrt x  - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)  thì \( \displaystyle\left| {\sqrt x  - 1} \right| = \sqrt x  - 1\)

Ta có: \( \displaystyle{{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\sqrt x  + 1}} = {{\sqrt x  - 1} \over {\sqrt x  + 1}}\) (với \(x ≥ 1)\)

+) Nếu \( \displaystyle\sqrt x  - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\) thì \( \displaystyle\left| {\sqrt x  - 1} \right| = 1 - \sqrt x \)

Ta có:

\( \displaystyle{{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\sqrt x  + 1}} = {{1 - \sqrt x } \over {\sqrt x  + 1}}\) (với \(0 ≤ x < 1\))

LG câu b

\(\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt y  - 1}}\sqrt {\dfrac{{y - 2\sqrt y  + 1}}{{{{(x - 1)}^4}}}} \) \((x ≠1, y ≠ 1\) và \(y ≥ 0).\) 

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với \(A \ge 0\) thì \(A = \sqrt {{A^2}} \) 

Và \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) 

Với \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)

với \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\).

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

\({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

\({(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(y ≥ 0\) nên \( y = {\left( {\sqrt y } \right)^2}\)

Ta có: 

\( \displaystyle\eqalign{
& {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{ {y - 2\sqrt y + 1} }}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \cr 
& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\sqrt {{{\left( \sqrt y - 1 \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{(x - 1)}^4}} }} \cr} \)

\( \displaystyle\eqalign{
& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}.{{\left| \sqrt y-1 \right|} \over {{{(x - 1)}^2}}}  \cr} \)

+) Nếu \(y>1\)

 Ta có \( \displaystyle\left| \sqrt y-1 \right|=\sqrt y-1\) nên ta có kết quả là \( \displaystyle{{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}.{{ \sqrt y-1 } \over {{{(x - 1)}^2}}} =\dfrac {1}{x-1}\)

+) Nếu \(0 \le y < 1\)

Ta có  \(\left| {\sqrt y  - 1} \right| = -( \sqrt y -1)\) nên ta có kết quả là

\(\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt y  - 1}}.\dfrac{{-(\sqrt y -1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 1}}\)