Giải bài 4 trang 27 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hàm số \(y = \sin x\) với \(x \in \left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\).

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của \(x \in \left[ {\frac{{ - 5\pi }}{3};\frac{{7\pi }}{3}} \right]\) sao cho \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) =  - 1\).

c) Tìm các giá trị của \(x \in \left[ {\frac{{ - 9\pi }}{8};\frac{{7\pi }}{8}} \right]\) sao cho \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) > 0\).

d) Tìm m để có bốn giá trị \(\alpha  \in \left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) phân biệt thỏa mãn \(\sin \alpha  = m\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có đồ thị hàm số \(y = \sin x\) với \(x \in \left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\):

b) Đặt \(\frac{\pi }{3} - x = t\). Vì \(\frac{{ - 5\pi }}{3} \le x \le \frac{{7\pi }}{3} \Rightarrow  - 2\pi  \le t \le 2\pi \).

Từ đồ thị hàm số trong phần a, ta có: \(\sin t =  - 1\) khi và chỉ khi \(t = \frac{{ - \pi }}{2}\) hoặc \(t = \frac{{3\pi }}{2}\)

Do đó, \(\frac{\pi }{3} - x = \frac{{ - \pi }}{2}\) hoặc \(\frac{\pi }{3} - x = \frac{{3\pi }}{2}\). Suy ra: \(x = \frac{{5\pi }}{6}\) hoặc \(x = \frac{{ - 7\pi }}{6}\)

c) Đặt \(2x + \frac{\pi }{4} = t\). Vì \(\frac{{ - 9\pi }}{8} \le x \le \frac{{7\pi }}{8} \Rightarrow  - 2\pi  \le t \le 2\pi \).

Từ đồ thị hàm số trong phần a, ta có: \(\sin t > 0\) khi và chỉ khi \( - 2\pi  < t <  - \pi \) hoặc \(0 < t < \pi \)

Suy ra: \( - 2\pi  < 2x + \frac{\pi }{4} <  - \pi \) hoặc \(0 < 2x + \frac{\pi }{4} < \pi \)

Do đó, \(\frac{{ - 9\pi }}{8} \le x \le \frac{{ - 5\pi }}{8}\) hoặc \(\frac{{ - \pi }}{8} \le x \le \frac{{3\pi }}{8}\)

d) Có bốn giá trị \(\alpha  \in \left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) phân biệt thỏa mãn \(\sin \alpha  = m\) khi và chỉ khi đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sin \alpha \) tại bốn điểm. Từ đồ thị hàm số ở trên, điều này xảy ra khi và chỉ khi \( - 1 < m < 0\) hoặc \(0 < m < 1\).