Bài 3.33 trang 131 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 3.33 trang 131 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số...
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)
LG a
Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là cấp số nhân.
Phương pháp giải:
Xét tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và chứng minh \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = q\) không đổi.
Lời giải chi tiết:
Từ giả thiết có
\({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Lập tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}.\dfrac{{{u_n} + 3}}{{{u_n} - 1}}\) \( = \dfrac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1,}}\) thay vào (2) ta được
\(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\)\( = \dfrac{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\) \( = \dfrac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = \dfrac{1}{5}.\)
Vậy \({x_{n + 1}} = \dfrac{1}{5}{x_n},\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = \dfrac{1}{5}\) và \({x_1} = - \dfrac{1}{3}.\)
LG b
Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.
Phương pháp giải:
Từ đó suy ra công thức của số hạng tổng quát \({x_n}\) và suy ra \({u_n}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \({x_n} = - \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{n - 1}}.\)
Từ đó tìm được \({u_n} = \dfrac{{3{x_n} - 1}}{{1 - {x_n}}} = \dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} - 1}}{{1 + \dfrac{1}{3}{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}{{\dfrac{1}{3}{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}.\)
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 3.33 trang 131 SBT đại số và giải tích 11 timdapan.com"