Bài 3.2 trang 147 SBT hình học 10

Đề bài

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)

a) Tìm điểm M nằm trên \(\Delta \) và cách điểm \(A(0;1)\) một khoảng bằng \(5\).

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) với đường thẳng \(x + y + 1 = 0\).

c) Tìm \(M\) trên \(\Delta \) sao cho \(AM \) ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

a) \(M(2 + 2t;3 + t) \in \Delta .\)

\(AM = 5 \Leftrightarrow {(2 + 2t)^2} + {(2 + t)^2} = 25\)\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \vee t =  - \dfrac{{17}}{5}\)

Vậy \(M\) có tọa độ là \((4;4)\) hay \(\left( {\dfrac{{ - 24}}{5};\dfrac{{ - 2}}{5}} \right)\)

b) \(M(2 + 2t;3 + t) \in \Delta .\)

\(M \in d\) \( \Leftrightarrow 2 + 2t + 3 + t + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow t =  - 2\)

Vậy \(M\) có tọa độ là \((-2;1)\).

c) \(M(2 + 2t;3 + t) \in \Delta .\)

\(\overrightarrow {AM}  = (2 + 2t;2 + t)\), \({\overrightarrow u _\Delta } = (2;1)\)

Ta có \(AM\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  \bot {\overrightarrow u _\Delta }\)

\( \Leftrightarrow 2(2 + 2t) + (2 + t) = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{6}{5}\) .

Vậy M có tọa độ là \(\left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{9}{5}} \right).\)