Giải bài 3 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Chu vi của một đa giác là 213cm, số đo các cạnh của nó lập thành cấp số cộng với công sai \(d = 7cm\) và cạnh lớn nhất bằng 53cm. Tính số cạnh của đa giác đó.


Đề bài

Chu vi của một đa giác là 213cm, số đo các cạnh của nó lập thành cấp số cộng với công sai \(d = 7cm\) và cạnh lớn nhất bằng 53cm. Tính số cạnh của đa giác đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng để tính: Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).  

Lời giải chi tiết

Gọi số cạnh của đa giác là n \(\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).

Số đo các cạnh của đa giác là \({u_1};{u_2};..;{u_n}\) (với \({u_1} < {u_2} < .. < {u_n}\))

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = 213\\{u_n} = 53\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = 213\\{u_n} = 53\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n\left( {{u_1} + 53} \right) = 426\\{u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 53\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n\left( {{u_1} + 53} \right) = 426\\{u_1} + 7\left( {n - 1} \right) = 53\end{array} \right.\)

Suy ra: \(n\left[ {53 - 7\left( {n - 1} \right) + 53} \right] = 426 \Leftrightarrow n\left( {113 - 7n} \right) = 426\)

\( \Leftrightarrow 7{n^2} - 113n + 426 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\left( {TM} \right)\\n = \frac{{71}}{7}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy đa giác trên có 6 cạnh.



Từ khóa phổ biến