Bài 2.60 trang 86 SBT đại số và giải tích 11

Giả sử \(A\) và \(B\) là hai biến cố \(\dfrac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = a\). Chứng minh rằng

LG a

\(\dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kì

cùng liên quan đến phép thử thì

\(P(A\cup B)=\)

\(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

Lời giải chi tiết:

Theo tính chất hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kì

cùng liên quan đến phép thử thì

\(P(A\cup B)\)

\(=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

\(\Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) \)

\(= P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)\)

Nên \(\dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \)

\(= \dfrac{{P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \)

\(= 1 - a\).

LG b

\(\dfrac{1}{2} \le a \le 1\).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kì

cùng liên quan đến phép thử thì

\(P(A\cup B)=\)

\(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(P\left( {A \cup B} \right) \)

\(= P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) \)

\(\le P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Nên \(a = \dfrac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \le 1{\rm{                                                                        }}\) \(\text{ (1)}\)

Mặt khác, \(2P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \cup B} \right) + P\left( {A \cup B} \right) \)

\(\ge P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Vậy \(a = \dfrac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \ge \dfrac{1}{2}\).

Kết hợp với \(\text{(1)}\), ta có \(\dfrac{1}{2} \le a \le 1\).