Bài 26 trang 54 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Vì sao khi phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có các hệ số \(a\) và \(c\) trái dấu thì nó có nghiệm?

Áp dụng. Không tính \(∆\), hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:

a) \(3{x^2} - x - 8 = 0\)

b) \(2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5  = 0\)

c) \(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2  - \sqrt 3  \)\(\,= 0\)

d) \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\).

Lời giải chi tiết

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)

\(a\) và \(c\) trái dấu \( \Leftrightarrow  ac < 0\) 

\( \Leftrightarrow - ac > 0  \Leftrightarrow  - 4ac > 0\)

\(\Delta  = {b^2} - 4ac\) 

Ta có \({b^2} \ge 0\); \( - 4ac > 0\) \( \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0\)

\( \Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng:

a) \(3{x^2} - x - 8 = 0\)

Có \(a = 3; c = -8 ⇒ ac < 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) \(2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5  = 0\)

Có \(a = 2004; c =  - 1185\sqrt 5 \) \(⇒ ac < 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) \(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2  - \sqrt 3  \)\(\,= 0\)

Có \(a = 3\sqrt 2  > 0;c = \sqrt 2  - \sqrt 3  < 0\) (vì \(\sqrt 2  < \sqrt 3 \))

\(⇒ ac < 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\)

- Nếu \(m = 0\) phương trình có dạng \(2010{x^2} + 5x = 0\) 

\( \Leftrightarrow 5x\left( {402x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - \dfrac{1}{{402}}
\end{array} \right.\)

Hay phương trình có \(2\) nghiệm là \(x=0\) và \(x = \dfrac{{ - 1}}{{402}}\).

- Nếu \(m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow  - {m^2} < 0\)

\(a = 2010 > 0;c =  - {m^2} < 0\) \( \Rightarrow ac < 0.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy với mọi \(m ∈\mathbb R\) thì phương trình \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt.