Bài 25 trang 54 SBT toán 9 tập 2

Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm; tính nghiệm của phương trình theo \(m\):

LG a

\(m{x^2} + \left( {2x - 1} \right)x + m + 2 = 0\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)  (1) (có chứa tham số \(m\)).

- TH1: \(a=0\) từ đó tìm nghiệm của (1).

- TH2: \(a\ne 0\), phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

\(m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m + 2 = 0\)

- Nếu \(m = 0\) ta có phương trình: \( - x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

- Nếu \(m ≠ 0\) phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  \ge 0\)

\( \Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) \)

     \( = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} - 8m \)

     \( = - 12m + 1 \)
\( \Delta \ge 0 \) \( \Leftrightarrow  - 12m + 1 \ge 0 \) \(\Leftrightarrow m \le \displaystyle {1 \over {12}} \)

\( \Rightarrow \sqrt \Delta = \displaystyle \sqrt {1 - 12m} \)

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

\(\displaystyle {x_1}  = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}= {{ - \left( {2m - 1} \right) + \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} \)\(\,\displaystyle = {{1 - 2m + \sqrt {1 - 12m} } \over {2m}} \)

\(\displaystyle {x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}= {{ - \left( {2m - 1} \right) - \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} \)\(\,\displaystyle = {{1 - 2m - \sqrt {1 - 12m} } \over {2m }} \)

LG b

\(2{x^2} - \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} - 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) (\(a\ne0\)) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

\(2{x^2} - \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} - 1 = 0\)  

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  \ge 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - \left( {4m + 3} \right)} \right]^2} - 4.2\left( {2{m^2} - 1} \right) \cr 
& = 16{m^2} + 24m + 9 - 16{m^2} + 8 \cr 
& = 24m + 17 \cr 
& \Delta \ge 0  \Leftrightarrow 24m + 17 \ge 0 \cr&\Leftrightarrow m\ge - {{17} \over {24}} \cr 
& \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {24m + 17} \cr} \)

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

\(\displaystyle  {x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}\)\(\displaystyle = {{4m + 3 + \sqrt {24m + 17} } \over 4}\)

\(\displaystyle {x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}\)\(\displaystyle = {{4m + 3 - \sqrt {24m + 17} } \over 4}\).