Bài 24 trang 54 SBT toán 9 tập 2

Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:

LG a

\(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm kép 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta = 0
\end{array} \right.\)

Trong đó: \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

Lời giải chi tiết:

\(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\)

Phương trình có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ne 0} \cr 
{\Delta = 0} \cr} } \right.\)

\( \Delta = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.m.2 \)\(\, = 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 8m \)\(\, = 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) \)

\( \Delta = 0\) \( \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) = 0 \)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 1 = 0 \)

Giải phương trình: \({m^2} - 4m + 1 = 0 \)

Có \(\Delta _m = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.1 = 16 - 4 \)\(\,= 12 > 0 \)

\( \Rightarrow \sqrt {\Delta_ m} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \)

\(\displaystyle {m_1} = {{4 + 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 3 \) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne0\))

\( \displaystyle {m_2} = {{4 - 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 - \sqrt 3  \) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne0\))

Vậy \(m = 2 + \sqrt 3 \) hoặc \(m = 2 - \sqrt 3 \) thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

LG b

\(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm kép 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta = 0
\end{array} \right.\)

Trong đó: \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

Lời giải chi tiết:

\(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)

Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 0\)

\( \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.3.4 \)\(\,= {m^2} + 2m + 1 - 48 \)\(\,= {m^2} + 2m - 47 \)

\( \Delta = 0 \) \( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 47 = 0 \)

Có: \( \Delta_ m = {2^2} - 4.1\left( { - 47} \right) \)\(\,= 4 + 188 = 192 > 0 \) 

\( \Rightarrow \sqrt {\Delta_ m} = \sqrt {192} = 8\sqrt 3 \)

\( \displaystyle {m_1} = {{ - 2 + 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = 4\sqrt 3 - 1 \)

\(\displaystyle {m_2} = {{ - 2 - 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = - 1 - 4\sqrt 3  \)

Vậy \(m = 4\sqrt 3  - 1\) hoặc \(m =  - 1 - 4\sqrt 3 \) thì phương trình có nghiệm kép.