Bài 22 trang 10 SBT toán 9 tập 2

Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

LG a

\(\left( {{d_1}} \right):5x - 2y = c\) và \(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2,\) biết rằng \(({d_1})\) đi qua điểm \(A (5; -1)\) và \(({d_2})\) đi qua điểm \(B(-7; 3);\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).

- Hai đường thẳng \(({d_1})\): \(ax + by = c\) và \(({d_2})\): \(a'x+b'y = c'\) cắt nhau tại điểm \(M\)  thì tọa độ của \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x+b'y = c'} \cr} } \right.\)

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

+ Bước \(1\): Rút \(x\) hoặc \(y\) từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

+ Bước \(2\): Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

Vì \(({d_1})\): \(5x - 2y = c\) đi qua điểm \(A(5; -1)\) nên 

\(5.5 - 2.\left( { - 1} \right) = c \Leftrightarrow c = 27.\)

Khi đó phương trình đường thẳng \(({d_1})\): \(5x - 2y = 27\)

Vì \(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2\) đi qua điểm \(B( -7; 3)\) nên 

\( - 7 + 3b = 2 \Leftrightarrow 3b = 9 \Leftrightarrow b = 3\)

Khi đó phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):x + 3y = 2\)

Tọa độ giao điểm của \(({d_1})\) và \(({d_2})\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{5x - 2y = 27} \cr 
{x + 3y = 2} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr 
{5\left( {2 - 3y} \right) - 2y = 27} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr 
{10 - 15y - 2y = 27} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr 
{ - 17y = 17} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr 
{y = - 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr 
{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy tọa độ giao điểm của \(({d_1})\) và \(({d_2})\) là \((5; -1)\)

LG b

\(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y =  - 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):3x - by = 5,\) biết rằng \(({d_1})\) đi qua điểm \(M(3; 9)\) và \(({d_2})\) đi qua điểm \(N(-1; 2).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).

- Hai đường thẳng \(({d_1})\): \(ax + by = c\) và \(({d_2})\): \(a'x+b'y = c'\) cắt nhau tại điểm \(M\)  thì tọa độ của \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x+b'y = c'} \cr} } \right.\)

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

+ Bước \(1\): Rút \(x\) hoặc \(y\) từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

+ Bước \(2\): Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = -3\) đi qua điểm \(M (3; 9)\) nên \(a.3 + 2.9 =  - 3 \Leftrightarrow 3a =  - 21 \\ \Leftrightarrow a =  - 7\)

Khi đó phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right): - 7x + 2y =  - 3\)

Vì \(\left( {{d_2}} \right):3x - by = 5\) đi qua điểm \(N (-1; 2)\) nên \(3.\left( { - 1} \right) - b.2 = 5 \Leftrightarrow  - 2b = 8 \\ \Leftrightarrow b =  - 4\)

Khi đó phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):3x + 4y = 5\)

Tọa độ giao điểm của \(({d_1})\)và \(({d_2})\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 7x + 2y = - 3} \cr 
{3x + 4y = 5} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr 
{\displaystyle 3x + 4.{{7x - 3} \over 2} = 5} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr 
{17x = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr 
{x = \displaystyle{{11} \over {17}}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x =\displaystyle {{11} \over {17}}} \cr 
{y = \displaystyle {{13} \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy tọa độ giao điểm của \(({d_1})\)và \(({d_2})\) là \(\displaystyle\left( {{{11} \over {17}};{{13} \over {17}}} \right)\).