Bài 20 trang 9 SBT toán 9 tập 2

Tìm \(a\) và \(b:\)

LG a

Để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A (-5; 3)\), \(B\displaystyle\left( {{3 \over 2}; - 1} \right)\);

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

+ Bước \(1\): Rút \(x\) hoặc \(y\) từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

+ Bước \(2\): Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

- Hai đường thẳng \(({d_1})\):  \(ax + by = c\) và \(({d_2})\):  \(a'x+b'y = c'\) cắt nhau tại điểm \(M\)  thì tọa độ của \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x+b'y = c'} \cr} } \right.\)

Lời giải chi tiết:

Vì  \(A(-5; 3)\) thuộc đường thẳng \(y = ax + b\) nên tọa độ của \(A\) thỏa mãn phương trình này, nghĩa là \(3 = -5a + b.\)

Vì \(B\displaystyle\left( {{3 \over 2}; - 1} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = ax + b\) nên \( - 1 = \displaystyle{3 \over 2}a + b \Leftrightarrow 3a + 2b =  - 2\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 5a + b = 3} \cr 
{3a + 2b = - 2} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr 
{3a + 2\left( {3 + 5a} \right) = - 2} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr 
{3a +6+10a= - 2} \cr} } \right.\cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr 
{13a = - 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr 
{a = \displaystyle- {8 \over {13}}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle- {1 \over {13}}} \cr 
{a = \displaystyle- {8 \over {13}}} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy \(a =  \displaystyle- {8 \over {13}};b =  - {1 \over {13}}.\) 

LG b

Để đường thẳng \(ax - 8y = b\) đi qua điểm \(M (9; -6)\) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(({d_1})\):  \(2x + 5y = 17,\)

 \(({d_2})\): \(4x - 10y = 14\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

+ Bước \(1\): Rút \(x\) hoặc \(y\) từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

+ Bước \(2\): Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

- Hai đường thẳng \(({d_1})\):  \(ax + by = c\) và \(({d_2})\):  \(a'x+b'y = c'\) cắt nhau tại điểm \(M\)  thì tọa độ của \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x+b'y = c'} \cr} } \right.\)

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(({d_1})\): \(2x + 5y = 17,\) 

\(({d_2})\):  \(4x - 10y = 14\) 

là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 17} \cr 
{4x - 10y = 14} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 17} \cr 
{2x - 5y = 7} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x =  \displaystyle{{7 + 5y} \over 2}} \cr 
{ \displaystyle 2\left( {{{7 + 5y} \over 2}} \right) + 5y = 17} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle {{7 + 5y} \over 2}} \cr 
{10y = 10} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x =  \displaystyle{{7 + 5y} \over 2}} \cr 
{y = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 6} \cr 
{y = 1} \cr} } \right. \cr} \)

Do đó giao điểm của \(({d_1})\) và\(({d_2})\) là  \(C(6; 1).\)

Vì \(M(9; -6)\) thuộc đường thẳng \(ax – 8y = b\) nên \(9a + 48 = b\)

Vì \(C(6; 1)\) thuộc đường thẳng \(ax – 8y = b\) nên \(6a – 8 = b\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{9a + 48 = b} \cr 
{6a - 8 = b} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr 
{9a + 48 = 6a - 8} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr 
{3a = - 56} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr 
{a = \displaystyle - {{56} \over 3}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - 120} \cr 
{a = \displaystyle - {{56} \over 3}} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy \(a =   \displaystyle - {{56} \over 3};b =  - 120\).