Bài 2.10 trang 82 SBT hình học 10

Đề bài

Biết \(\sin \alpha  = \dfrac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\cot \alpha  - \tan \alpha }}{{\cot \alpha  + \tan \alpha }}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(B = \dfrac{{\cot \alpha  - \tan \alpha }}{{\cot \alpha  + \tan \alpha }}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }}}}\) \( = \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }}\)

\( = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \).

Mà \(\sin \alpha  = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha \) \( = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\)

Thay vào \(B\) ta được \(B = \dfrac{5}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{9}\)

Vậy \(B = \dfrac{1}{9}\).