Bài 2 trang 113 Vở bài tập toán 7 tập 2

Đề bài

Cho góc vuông \(xOy\), điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(B\) thuộc tia \(Oy.\) Đường trung trực của đoạn thẳng \(OA\) cắt \(Ox\) ở \(D\), đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(OB\) cắt \(Oy\) ở \(E.\) Gọi \(C\) là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:

a) \(CE = OD\);                b) \(CE ⊥ CD\);

c) \(CA = CB\);                 d) \(CA // DE\);

e) Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Nối \(ED\). Ta có  \( EC // OD\) (vì cùng vuông góc với \(OB\)) nên \(\widehat {E_2}\)\(= \widehat {D_1}\) (so le trong).

Tương tự, ta cũng có \(DC // OE\) nên \(\widehat {E_1}\)\(= \widehat {D_2}\).

Xét  \(\Delta DOE\) và \(\Delta ECD\), chúng có:

\(\widehat {E_1}\)\(= \widehat {D_2}\); cạnh \(DE\) chung; \(\widehat {D_1}\)\(= \widehat {E_2}\)

Do đó \(\Delta DOE = \Delta ECD\)  (g.c.g). Suy ra \(CE=OD\).

b) Cũng do \(\Delta DOE = \Delta ECD\) (chứng minh trên) ta còn suy ra \(\widehat {O}\)\(= \widehat {ECD}\) mà \(\widehat {O}=90^{\circ}\) nên \(\widehat {ECD}=90^{\circ}\). Vậy \(CE \perp CD\).

c) Xét \(\Delta CDA\) và \(\Delta BEC\). Chúng có :

\(AD=CE,\) (cùng bằng \(OD\)); \(\widehat {CDA}\)\(= \widehat {BEC}=90^{\circ}\), \(CD=BE\) (cùng bằng \(EO\) do \(\Delta DOE = \Delta ECD\)). Do đó \(\Delta CDA\) \(=\Delta BEC\) (c-g-c). Suy ra \(CA=CB\).

d) Xét \(\Delta CDA\) và \(\Delta DCE\). Chúng có:

\( AD = CE\), \( \widehat {CDA} = \widehat {ECD} = 90^o \), cạnh \(CD\) chung.

Do đó \(∆CDA = ∆DCE\) (c.g.c) suy ra \(\widehat {C_1} = \widehat {D_2}\). Do đó \(CA // DE\) (vì có hai góc so le trong bằng nhau)

Hơn nữa \(\widehat {ACD}\) so le trong với \(\widehat {EDC} \).

Suy ra  (điều phải chứng minh).

e) Tương tự câu d) ta có \(CB // DE\). Như vậy qua điểm \(C\) có \(CA\) và \(CB\) cùng song song với \(DE\) nên theo tiên đề Ơclit, hai đường thẳng \(CA\) và \(CB\) trùng nhau. Do đó \(A, B, C\) là ba điểm thẳng hàng.