Bài 123 trang 95 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.

a. Chứng minh rằng \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)

b. Gọi \(D,\, E\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến \(AB,\, AC.\) Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

Lời giải chi tiết

a. \(AH ⊥ BC\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {HAB} + \widehat B = {90^0}\)

\(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) (vì ∆ ABC có \(\widehat A = {90^0}\))

Suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat C\) (1)

\(∆ ABC\) vuông tại \(A\) có \(AM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\)

\(⇒ AM = MC = \dfrac{1}{2} BC\) (tính chất tam giác vuông)

\(⇒ ∆ MAC\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat C\) (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)

b. xét tứ giác ADHE có:

\(\widehat A = {90^0}\) (gt)

\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì \(HD ⊥ AB\))

\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì \(HE ⊥ AC\))

Suy ra: Tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

+ Xét \(∆ ADH\) và \(∆ EHD\) có :

DH chung

\(AD = EH\) ( vì ADHE là hình chữ nhật)

\(AH=DE\) ( vì ADHE là hình chữ nhật)

\(⇒ ∆ ADH = ∆ EHD \,(c.c.c)\)

\( \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {HED}\)

Lại có: \(\widehat {HED} + {\widehat E_1} = \widehat {HEA} = {90^0}\)

Suy ra: \({\widehat E_1} + {\widehat A_1} = {90^0}\)

              \({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (chứng minh câu a)

 \( \Rightarrow {\widehat E_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\)

Trong \(∆ AIE\) ta có:

\(\widehat {AIE} = {180^0} - \left( {{{\widehat E}_1} + {{\widehat A}_1}} \right)\) \(= {180^0} - {90^0} = {90^0}\)

\(\Rightarrow \) \(AM ⊥ DE.\)