Bài 1.2 trang 7 SBT giải tích 12

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

LG câu a

a) \(y = {{3 - 2x} \over {x + 7}}\)

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính \(y'\) theo công thức \(\left( {\dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)

- Xét dấu \(y'\) và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 7} \right\}\)

\(y' = \dfrac{{ - 2.7 - 3.1}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} < 0,\) \(\forall x \ne  - 7\)

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 7} \right)\) và \(\left( {  - 7};+ \infty  \right)\).

LG câu b

b) \(y = {1 \over {{{(x - 5)}^2}}}\)

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính \(y'\) theo công thức \(\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' = \dfrac{{ - u'}}{{{u^2}}}\)

- Xét dấu \(y'\) và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - \left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}\) \( = \dfrac{{ - 2\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}\) \( = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\)

\(y' > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} > 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^3} < 0 \Leftrightarrow x < 5\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\).

\(y' < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} < 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^3} > 0 \Leftrightarrow x > 5\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\).

LG câu c

c) \(y = {{2x} \over {{x^2} - 9}}\) 

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính \(y'\) theo công thức \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

- Xét dấu \(y'\) và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 3} \right\}\)

\(y' = \dfrac{{\left( {2x} \right)'.\left( {{x^2} - 9} \right) - 2x.\left( {{x^2} - 9} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 9} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2{x^2} - 18}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{ - 2\left( {{x^2} + 9} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right),\left( { - 3;3} \right),\left( {3; + \infty } \right)\).

LG câu d

d) \(y = {{{x^4} + 48} \over x}\)

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính \(y'\) theo công thức \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

- Xét dấu \(y'\) và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^4} + 48} \right)'.x - \left( x \right)'.\left( {{x^4} + 48} \right)}}{{{x^2}}}\) \( = \dfrac{{4{x^3}.x - {x^4} - 48}}{{{x^2}}} = \dfrac{{3{x^4} - 48}}{{{x^2}}}\) \( = \dfrac{{3\left( {{x^4} - 16} \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{3\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).

LG câu e

e) \(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\) 

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính \(y'\) theo công thức \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

- Xét dấu \(y'\) và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)'\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 2x - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 5 = 0\) \( \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 6 \)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1 - \sqrt 6 ),( - 1 + \sqrt 6 ; + \infty )\)

và nghịch biến trên các khoảng \(( - 1 - \sqrt 6 ; - 1), ( - 1; - 1 + \sqrt 6 )\)

LG câu g

g) \(y = {{{x^2} - 5x + 3} \over {x - 2}}\)

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính \(y'\) theo công thức \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

- Xét dấu \(y'\) và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^2} - 5x + 3} \right)'\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)'\left( {{x^2} - 5x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 5x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\).

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).