Bài 108 trang 153 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Bạn Mai vẽ tia phân giác của một góc như sau: Đánh dấu trên hai cạnh của bốn góc bốn đoạn thẳng bằng nhau: \(OA = AB = OC = CD\) (hình 72). Kẻ các đoạn thẳng \(AD, BC\), chúng cắt nhau ở \(K\). Hãy giải thích vì sao \(OK\) là tia phân giác của góc \(O.\)

Hướng dẫn: Chứng minh rằng:

a) \(∆OAD = ∆OCB\)

b) \(∆KAB = ∆KCD\)

Lời giải chi tiết

a) \(OA = AB = OC = CD\)

\( \Rightarrow  OC+CD=OA+AB\)

\( \Rightarrow  OD=OB\)

Xét \(∆OAD\) và \(∆OCB\) ta có:

\(OA = OC\) (gt)

\(\widehat O\) chung

\(OD = OB\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  ∆OAD = ∆OCB \) (c.g.c)

b) \(∆OAD = ∆OCB\)

\( \Rightarrow \widehat D = \widehat B\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow  \widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\) (hai góc tương ứng)

Lại có: \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

           \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow  \widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\)   

Xét \(∆KCD\) và \(∆KAB\) có:

\(\widehat D = \widehat B\) (chứng minh trên)

\(CD = AB\) (gt)

\(\widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  ∆KCD = ∆KAB\) (g.c.g)

\( \Rightarrow KC = KA\) (hai cạnh tương ứng).

Xét \(∆OCK\) và \(∆OAK\) có:

\(OC = OA\) (gt)

\(OK\) cạnh chung

\(KC = KA\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆OCK = ∆OAK\) (c.c.c)

\( \Rightarrow  \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(OK\) là tia phân giác của góc \(O\).