Bài 103 trang 152 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho đoạn thẳng \(AB.\) Vẽ các cung tâm \(A\) và \(B\) có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại \(C\) và \(D.\) Chứng minh rằng \(CD\) là đường trung trực của \(AB.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\).

Nối \(AC, AD, BC, BD\).

Xét \(∆ACD\) và \(∆BCD\) có:

\(AC = BC\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)

\(AD = BD\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)

\(CD\) cạnh chung

\( \Rightarrow  ∆ACD = ∆BCD\) (c.c.c).

\( \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng).

Xét \(∆AHC\) và \(∆BHC\) có:

\(AC = BC\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên)

\(CH\) cạnh chung

\( \Rightarrow ∆AHC = ∆BHC\) (c.g.c).

\( \Rightarrow AH = BH\) (hai cạnh tương ứng)                   (1)

\( \Rightarrow \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) (hai góc tương ứng)

\(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}} = 90^\circ\)

\(  \Rightarrow C{\rm{D}} \bot AB\)                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(CD\) là đường trung trực của \(AB.\)