Bài 104 trang 152 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ADE\) cân tại \(A\). Trên cạnh \(DE\) lấy các điểm \(B\) và \(C\) sao cho \(\displaystyle DB = EC <{1 \over 2}DE\)

a) Tam giác \(ABC\) là tam giác gì? Chứng minh điều đó?

b) Kẻ \(BM \bot A{\rm{D}}\) kẻ \(C{\rm{N}} \bot {\rm{AE}}\). Chứng minh rằng \(BM = CN.\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MB\) và \(NC\). Tam giác \(IBC\) là tam giác gì? Chứng minh điều đó.

d) Chứng minh rằng \(AI\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)

Lời giải chi tiết

Xét \(∆ABD\) và \(∆ACE\) có:

\(AD = AE\) (vì \(∆ADE\) cân tại \(A\))

\(\widehat D = \widehat E\) (vì \(∆ADE\) cân tại \(A\))

\(DB = EC\) (gt)

\( \Rightarrow  ∆ABD = ∆ACE\) (c.g.c)

\( \Rightarrow  AB = AC\) (hai cạnh tương ứng).

Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)

b) Xét hai tam giác vuông \(BMD\) và \(CNE\) có:

\(\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CNE} = 90^\circ \)

\(BD = CE\) (gt)

\(\widehat D = \widehat E\) (vì \(∆ADE\) cân tại \(A\))

\( \Rightarrow  ∆BMD = ∆CNE\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow  BM = CN\) (hai cạnh tương ứng).

c) \( ∆BMD =  ∆CNE\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {DBM} = \widehat {ECN}\) (hai góc tương ứng)   (1)

\(\widehat {DBM} = \widehat {IBC}\) (đối đỉnh)   (2)

\(\widehat {ECN} = \widehat {ICB}\) (đối đỉnh)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) hay \(∆IBC\) cân tại \(I.\)

d) Xét \(∆ABI\) và \(∆ACI\) có:

\(AB = AC\) (chứng minh trên)

\(IB = IC\) (vì  \(∆IBC\) cân tại \(I\))

\(AI\) cạnh chung

\( \Rightarrow  ∆ABI = ∆ACI\) (c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng).

Vậy \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).