Giải bài 1 trang 161 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Một công ty bảo hiểm thống kê lại độ tuổi các khách hàng mua bảo hiểm xe ô tô ở bảng sau: Hãy ước lượng số trung bình, mốt và các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Đề bài
Một công ty bảo hiểm thống kê lại độ tuổi các khách hàng mua bảo hiểm xe ô tô ở bảng sau:
Hãy ước lượng số trung bình, mốt và các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về số trung bình của mẫu số liệu để tính:
Giả sử mẫu số được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline x \), được tính như sau: \(\overline x = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}}}{n}\), trong đó \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\).
+ Sử dụng kiến thức về mốt của mẫu số liệu để tính: Giả sử nhóm chứa mốt là \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\), khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({M_O}\) được xác định bởi công thức: \({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)
+ Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:
Gọi n là cỡ mẫu.
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa trung vị, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa trung vị,
\(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).
Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_2}\), cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_1}\), ta làm như sau:
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)
Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_3}\), ta làm như sau:
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ ba, \({n_j}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}\)
Khi đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Bảng tần số ghép nhóm gồm các giá trị đại diện của nhóm là:
Cỡ mẫu \(n = 233\)
Số trung bình của mẫu số liệu là:
\(\overline x = \frac{{27,5.25 + 32,5.38 + 37,5.62 + 42,5.42 + 47,5.37 + 52,5.29}}{{233}} \approx 39,97\)
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là \(\left[ {35;40} \right)\).
Do đó, \({u_m} = 35,{n_{m - 1}} = 38,{n_m} = 62,{n_{m + 1}} = 42,{u_{m + 1}} - {u_m} = 40 - 35 = 5\)
Mốt của mẫu số liệu là: \({M_O} = 35 + \frac{{62 - 38}}{{\left( {62 - 38} \right) + \left( {62 - 42} \right)}}.5 = \frac{{415}}{{11}}\)
Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{233}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1},...,{x_{25}} \in \left[ {25;30} \right),{x_{26}},...,{x_{63}} \in \left[ {30;35} \right),{x_{64}},...,{x_{125}} \in \left[ {35;40} \right),{x_{126}},...,{x_{167}} \in \left[ {40;45} \right),\)
\({x_{168}},...,{x_{204}} \in \left[ {45;50} \right),{x_{205}},...,{x_{233}} \in \left[ {50;55} \right)\)
Do cỡ mẫu \(n = 233\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({x_{117}}\). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {35;40} \right)\).
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_2} = 35 + \frac{{\frac{{233}}{2} - \left( {25 + 38} \right)}}{{62}}.\left( {40 - 35} \right) = \frac{{4\;875}}{{124}}\)
Do cỡ mẫu \(n = 233\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{58}} + {x_{59}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {30;35} \right)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{233}}{4} - 25}}{{38}}.\left( {35 - 30} \right) = \frac{{275}}{8}\)
Do cỡ mẫu \(n = 233\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{175}} + {x_{176}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {45;50} \right)\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_3} = 45 + \frac{{\frac{{3.233}}{4} - \left( {25 + 38 + 62 + 42} \right)}}{{37}}.\left( {50 - 45} \right) = \frac{{6\;815}}{{148}}\)
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Giải bài 1 trang 161 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 timdapan.com"
