Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Chương II - Hình học 12

Đề bài

Câu 1: Bề mặt xung quanh của một hình trụ trải trên mặt phẳng là một hình vuông cạnh a. Thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ này bằng.

\(A.\,\,\dfrac{{2{a^3}}}{\pi }\)          \(B.\,\,\dfrac{{\pi {a^3}}}{4}\)

\(C.\,\,\dfrac{{{a^3}}}{{4\pi }}\)           \(D.\,\,\dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)

Câu 2: Các hình chóp sau đây luôn có các đỉnh nằm trên một mặt cầu

A. Hình chóp tam giác

B. Hình chóp tứ giác

C. Hình chóp đều ngũ giác

D. Hình chóp đều n – giác

Câu 3: Cho 3 điểm A,B,C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng \(\widehat {ACB} = {90^o}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. ABC là một tam giác vuông cân tại C

B. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho

C. AB là đường kính của một đường tròn lớn trên mặt cầu đã cho

D. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 4: Một khối trụ tròn xoay chứa một khối cầu bán kính bằng 1. Khối cầu tiếp xúc với mặt xung quanh và hai mặt đáy của khối trụ. Thể tích khối trụ bằng

\(A.\,\,\dfrac{\pi }{2}\)             \(B.\,\,\dfrac{2}{\pi }\)

\(C.\,\,\dfrac{\pi }{3}\)              \(D.\,\,2\pi \)

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA⊥(ABC) điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu qua các điểm S, A, B, C?

A. Trung điểm K của BC

B. Trung điểm I của AC

C. Trung điểm M của SC

D. Trung điểm J của AB

Câu 6: Cho điểm A nằm trong mặt cầu S(O;R). Ta xét các mệnh đề sau: 
a. Mọi đường thẳng đi qua A đều cắt (S) tại hai điểm phân biệt
b. Mọi mặt phẳng đi qua A đều cắt (S) theo một đường tròn.
c. Trong các mặt phẳng đi qua A, mặt phẳng vuông góc với OA sẽ cắt (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Trong các mệnh đề trên:

A. Cả ba mệnh đề đều đúng.

B. Có một mệnh đề đúng

C. Không có mệnh đề nào đúng

D. Có hai mệnh đề đúng

Câu 7: Các hình chóp sau đây luôn có các đỉnh nằm trên một mặt cầu
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. Hình chóp tam giác

B. Hình chóp đều ngũ giác

C. Hình chóp đều n - giác.

D. Hình chóp tứ giác

Câu 8: Trong không gian cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Tập hợp tâm các mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C là:

A. Một mặt cầu

B. Một đường thẳng

C. Một mặt phẳng

D. Một đường tròn

Câu 9: Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3; 4; 12. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là

A. 10                \(B.\,\dfrac{{13}}{2}\)         

C. 13                 D. 5

Câu 10: Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện SABC với: SA=a, SB=b, SC=c. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó là:

\(A.\,r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

\(B.\,r = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

\(C.\,r = 2a\)

\(D.\,r = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\)

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Gọi r là bán kính đáy của khối trụ

\(2\pi r = a \Rightarrow r = \dfrac{a}{{2\pi }}\)

h là chiều cao của khối trụ nên h = a

Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {r^2}.h = \pi {\left( {\dfrac{a}{{2\pi }}} \right)^2}.a = \dfrac{{{a^3}}}{{4\pi }}\)

Chọn C

Câu 4: Bán kính đáy hình trụ là 1, chiều cao là 2.

Thể tích khối trụ bằng: \(V = \pi {r^2}.h = \pi {.1^2}.2 = 2\pi \)

Chọn D.

Câu 5:

Gọi M là trung điểm của SC nên MS = MC

Gọi N là trung điểm của AC , tam giác ABC vuông tại B nên NA = NB = NC

MN// SA nên \(MN \bot \left( {ABC} \right)\) do đó MN là trục đường tròn của tam giác ABC

Hay MA = MB = MC

Vậy M là tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Chọn C.

Câu  9:

Ta có tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trùng với tâm đối xứng của hình hộp. Như hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm là I, là trung điểm của AC’, bán kính \(r = \dfrac{{AC'}}{2}\)
Tam giác A'C'A vuông tại A', áp dụng định lí (P) ta được:

\(AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}}  \)\(\,= \sqrt {{c^2} + A'C{'^2}} \,\,\,\,(1)\)

Mặt khác tam giác A'D'C' vuông tại D', áp dụng định lí (P) ta được:

\(A'C' = \sqrt {A'D{'^2} + D'C{'^2}} \)\(\, = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(r = \dfrac{1}{2}.\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Áp dụng: \(a = 3;b = 4;c = 12\) ta được: \(r = \dfrac{1}{2}\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{12}^2}}  = \dfrac{{13}}{2}\)

Chọn B.

Câu 10:

Gọi I là trung điểm của AB.

Kẻ Δ vuông góc với mặt phẳng (SAB) tại I.

Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt Δ tại O.

Suy ra: \(OC = OS\) (1)

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác SAB vì SAB vuông tại S.

Suy ra \(OA = OB = OS\) (2)

Từ (1);(2) suy ra \(OA = OB = OC = OS.\)

Vậy A, B, C, S thuộc mặt cầu tâm O bán kính OA.

\(r = OA = \sqrt {O{I^2} + A{I^2}} \)\(\, = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{SC}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}}  \)\(\,= \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Chọn D.