Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 10 - Bài 4, 5 - Chương 1 - Hình học 8

Đề bài

Cho hình thang ABCD \(\left( {AB//CD} \right)\). Các tia phân giác của các góc A và D cắt nhau tại I, và của các góc B và C cắt nhau tại J. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: bốn điểm M, N, I, J thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\widehat A + \widehat D = {180^ \circ }\) (cặp góc trong cùng phía)

\( \Rightarrow \dfrac{{\widehat A} }{ 2} + \dfrac{{\widehat D}}{2} = {90^ \circ }\) và \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {AID} = {90^ \circ }\)

Lại có M là trung điểm của AD (gt) nên MI là trung tuyến của tam giác vuông AID nên MI = MD hay \(\Delta DMI\) cân tại M \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{I_1}}\)

Mà \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{I_1}}\)

Do đó \(MI// DC.\)

Vì MN là đường trung bình của hình thang nên \(MN// DC.\) Vậy MI và MN phải trùng nhau (Tiên đề Ơ clit) hay ba điểm M, I, N thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta được M, J, N thẳng hàng. Vậy bốn điểm M, I, J, N thẳng hàng.