Bài 71 trang 16 SBT Hình học 11 Nâng cao

Cho phép vị tự V tâm O, tỉ số k ≠ 1 và phép tịnh tiến T theo vectơ \(\overrightarrow v  \ne \overrightarrow 0 \) . Gọi F là phép hợp thành của V và T.

LG a

Tìm điểm I sao cho F biến I thành chính nó.

Lời giải chi tiết:

Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ và T biến M’ thành M” thì F biến M thành M”.

Bởi vậy F biến điểm I thành điểm I nếu V biến I thành I’ và T biến I’ thành I, khi đó \(\overrightarrow {OI'}  = k\overrightarrow {OI} \) và \(\overrightarrow {I'I}  = \overrightarrow v .\)

Từ đó, suy ra \(\overrightarrow {OI}  - \overrightarrow {OI'}  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {OI}  - k\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {OI}  = {{\overrightarrow v } \over {1 - k}}\)

Vậy điểm I hoàn toàn xác định.

LG b

Chứng minh rằng F là phép vị tự tâm I tỉ số k

Lời giải chi tiết:

Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ thì \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \) , nếu T biến M’ thành M” thì \(\overrightarrow {M'M''}  = \overrightarrow v \) . Từ đó, suy ra \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \overrightarrow {IM'}  - \overrightarrow {I{\rm{O}}}  = k\left( {\overrightarrow {IM}  - \overrightarrow {I{\rm{O}}} } \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {IM'}  + \overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = k\overrightarrow {IM}  \cr} \)              (*)

Nhưng từ biểu thức xác định I ta có \(\overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = \overrightarrow v \).

Ngoài ra, vì \(\overrightarrow {M'M''}  = \overrightarrow v \) nên \(\overrightarrow {IM''}  - \overrightarrow {IM'}  = \overrightarrow v \) hay \(\overrightarrow {IM'}  = \overrightarrow {IM''}  - \overrightarrow v \).

Vậy đẳng thức (*) trở thành \(\overrightarrow {IM''}  = k\overrightarrow {IM} \).

Do đó, phép F biến M thành M” chính là phép vị tự tâm I tỉ số k.