Bài 67 trang 16 SBT Hình học 11 Nâng cao

Cho Đ là phép đối xứng trục có trục đối xứng là đường thẳng d và T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) song song với d. Hợp thành Đ và T gọi là phép đối xứng trượt. Phép đối xứng trục là một trường hợp đặc biệt của phép đối xứng trượt khi vectơ trượt là vectơ không.

LG a

Chứng minh rằng hợp thành của T và Đ cũng bằng hợp thành của Đ và T.

Lời giải chi tiết:

Giả sử M là một điêmt nào đó, Đ biến M thành M₁ và T biến M₁ thành M’.

Như vậy, nếu gọi F là hợp thành của T và Đ thì F biến M thành M’.

Nếu ta lấy điểm M₂ sao cho MM₁M’M₂ là hình chữ nhật thì rõ ràng T biến M thành M₂ và Đ biến M₂ thành M’.

Vậy F cũng là hợp thành của T và Đ.

LG b

Chứng minh rằng nếu M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trượt thì trung điểm đoạn thẳng MM’ luôn nằm trên trục của phép đối xứng trượt đó.

Lời giải chi tiết:

Hiển nhiên

LG c

Hợp thành của hai phép đối xứng trượt  có trục song song là phép gì?

Lời giải chi tiết:

Giả sử phép đối xứng trượt F có trục d và vectơ trượt \(\overrightarrow v \) , phép đối xứng trượt F’ có trục đối xứng d’ và véc tơ trượt \(\overrightarrow v '\) .

Kí hiệu Đ, Đ’ lần lượt là phép đối xứng có trục d và d’, T và T’ lần lượt là các phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow {v'} \) .

Như vậy F là hợp thành của T và Đ, F’ là hợp thành của Đ’ và T’.

Suy ra hợp thành của F và F’ là hợp thành của bốn phép: T, Đ, Đ’ và T’.

Vì d // d’ nên hợp thành của Đ và Đ’ là một phép tịnh tiến.

Vậy hợp thành F và F’ là hợp thành của ba phép tịnh tiến và do đó là môt phép tịnh tiến.

LG d

Chứng minh rằng hợp thành của một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến là một phép đối xứng trượt.

Lời giải chi tiết:

Gọi Đ là phép đối xứng trục, với trục là đường thẳng d, T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) , còn F là hợp thành của Đ và T.

Ta có thể tìm được hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) sao cho \(\overrightarrow {{v_1}} \) song song với d, \(\overrightarrow {{v_2}} \) vuông góc với d và \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {{v_1}}  + \overrightarrow {{v_2}} \) .

Nếu ta gọi T₁ và T₂ lần lượt là các phép tịnh tiến theo các vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) thì T là hợp thành của T₂ và T₁.

Nhưng vì \(\overrightarrow {{v_2}} \) vuông góc với d nên T₂ có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục D₁ và D₂ có trục song song với d. Tóm lại, F là hợp thành của bốn phép Đ, Đ₁, Đ₂ và T₁.

Như đã biết, hợp thành của 3 phép đối xứng trục Đ, Đ₁, Đ₂ (có trục song song) là phép đối xứng của trục Đ₃ có trục song song với d. Vậy F là hợp thành của Đ₃ và T₁ với vectơ tịnh tiến của T₁ song song với trục đối xứng Đ₃, nên F là phép đối xứng trượt.

LG e

Chứng minh rằng hợp thành của một phép quay và một phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt.

Lời giải chi tiết:

Giả sử Q là phép quay tâm O và Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d, F là hợp thành của Q và Đ.

Ta có thể xem phép quay Q là hợp thành của hai phép đối xứng Đ₁ và Đ₂ có các trục đối xứng đi qua O, trong đó trục của Đ₂ song song với d.

Như vậy F là hợp thành của ba phép đối xứng: Đ₁, Đ₂ và Đ.

Nhưng hợp thành của Đ₂ và Đ (có trục đối xứng song song) là phép tịnh tiến do đó F là hợp thành của một phép đối xứng và một phép tịnh tiến nên theo câu d), F là phép đối xứng trượt.

LG g

Chứng minh rằng hợp thành của ba phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt.

Lời giải chi tiết:

Suy từ câu d và câu e).