Bài 65 trang 15 SBT Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho phép dời hình F không phải là phép đồng nhất. Chứng minh rằng nếu F biến điểm I nào đó thành chính nó thì F là phép quay tâm I hoặc là phép đối xứng có trục là đường thằng đi qua I.

Lời giải chi tiết

Vì F không phải là phép đồng nhất nên có điểm A không trùng với ảnh A’.

Nếu A’ đối xứng với A qua I thì thưo bài tập 64, F chính là phép đối xứng trục qua đường thẳng d đi qua I và vuông góc với AA’, hoặc là phép đối xứng qua tâm I (tức là phép quay tâm I với góc quay 180⁰).

Bây giờ xét trường hợp A’ không đối xứng với A qua I, tức là ta có tam giác IAA’.

Gọi A’’ là ảnh của A’ qua phép F. Khi đó, F biến tam giác IAA’ thành tam giác IA’A’’.

Có thể xảy ra hai trường hợp:

- A’’ trùng với A. Khi đó, nếu gọi J là trung điểm của AA’ thì J cũng là trung điểm của A’A’’ nên F biến J thành I.

Suy ra F biến mọi điểm của đường thẳng IJ thành chính nó. Vậy F là phép đối xứng qua đường thẳng IJ.

- A’’ không trùng với A. Khi đó ta có IA = IA’ = IA’’ và (IA, IA’) = (IA’, IA’’) nên nếu gọi Q là phép  quay tâm  I góc quay φ = (IA, IA’) thì Q biến tam giác IAA’ thành tam giác IA’A’’ nên Q chính là F.