Bài 66 trang 16 SBT Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho đường tròn (O) và phép dời hình F biến (O) thành chính nó nhưng F không phải là phép đồng nhất. Gọi M là điểm thay đổi trên đường tròn và M’ = F(M). Chứng mình rằng quỹ tích của trung điểm đoạn thẳng MM’ là một đường tròn, hoặc là một đoạn thẳng; hoặc là một điểm.

Lời giải chi tiết

Vì F biến (O) thành chính nó nên F biến điểm O thành chính nó.

Theo bài tập 64, F là phép quay tâm O hoặc là phép đối xứng qua đường thẳng d chứa điểm O.

Trường hợp F là phép quay tâm O

Nếu góc quay là 180­⁰ (khi đó F là phép đối xứng qua điểm O) thì hiển nhiên trung điểm của MM’ là O. Khi đó quỹ tích của trung điểm MM’ là điểm O.

Nếu góc quay khác 180⁰ thì rõ ràng đọ dài dây cung MM’ không đổi. Do đó quỹ tích của trung điểm MM’ là đường tròn tâm O.

Trường hợp F là phép đối xứng qua đường thẳng d (đi qua O)

Hiển nhiên trung điểm của MM’ nằm trên d và do đó quỹ tích trung điểm đó là một đường kính của đường tròn.