Câu 6 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi \({D_1},{D_2},{D_3}\)  lần lượt là điểm đối xứng của điểm D’ qua A, B’, C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện \({D_1}{D_2}{D_3}D'\).

Lời giải chi tiết

Cách 1.

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {b,} \,\,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow c \)

Từ giả thiết, ta có

\(\overrightarrow {B{\rm{D}}'}  + \overrightarrow {B{{\rm{D}}_1}}  = 2\overrightarrow {BA}  =  - 2\overrightarrow b \)

mà \(\overrightarrow {B{\rm{D}}'}  = \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

Vậy \(\overrightarrow {B{{\rm{D}}_1}}  =  - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow {c.} \)

Lập luận tương tự như trên, ta có \(\overrightarrow {B{{\rm{D}}_2}}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)  và \(\overrightarrow {B{{\rm{D}}_3}}  =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

Vậy \(\overrightarrow {B{{\rm{D}}_1}}  + \overrightarrow {B{{\rm{D}}_2}}  + \overrightarrow {B{{\rm{D}}_3}}  + \overrightarrow {B{\rm{D}}'}  = \overrightarrow 0 \)

Điều này chứng tỏ B là trọng tâm của tứ diện \({D_1}{D_2}{D_3}D'\) .

Cách 2.

Gọi I là giao điểm của BD’ và mp(AB’C) thì D’I = 2IB.

Gọi J là giao điểm của BD’ với mp (D₁D₂D₃), do D₁, D₂, D₃ là các điểm đối xứng của D’ lần lượt qua A, B’, C nên IJ = ID’ hay \(D'B = {3 \over 4}D'J\).

Mặt khác I là trọng tâm tam giác AB’C nên J là trọng tâm tam giác D₁D₂D₃. Từ đó B là trọng tâm của tứ diện \({D_1}{D_2}{D_3}D'\).