Câu 14 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 14 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P. Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

\(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BN}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BC},\)

\(\overrightarrow {AQ}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow {DP}  = k\overrightarrow {DC}. \)

Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Cách 1

Từ \(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)  ta có \(\overrightarrow {BM}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BA} \) , mặt khác \(\overrightarrow {BN}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BC} \) nên MN // AC.

Nếu có k để các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng thì mp(MNQ) cắt mp(ACD) theo giao tuyến PQ nên PQ // AC.

Mặt khác \(\overrightarrow {AQ}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} \) nên \(\overrightarrow {DP}  = {1 \over 2}\overrightarrow {DC} \).

Vậy \(k = {1 \over 2}\) thì các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2:

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \) .

Khi đó \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow c  - \overrightarrow b ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b  - \overrightarrow a \).

Do \(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)

nên

$$\eqalign{
& \overrightarrow {AM} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) = - {1 \over 3}\overrightarrow a + {1 \over 3}\overrightarrow b \cr 
& \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + {2 \over 3}\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right) \cr 
& = - \overrightarrow a + {1 \over 3}\overrightarrow b + {2 \over 3}\overrightarrow c \cr 
& \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {DP} = - \overrightarrow a + k\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow a + k\overrightarrow c \cr 
& \overrightarrow {AQ} = - {1 \over 2}\overrightarrow a \cr} $$

Khi đó

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  =  - {2 \over 3}\overrightarrow a  + {2 \over 3}\overrightarrow c   \cr  & \overrightarrow {MP}  =  - {2 \over 3}\overrightarrow a  - {1 \over 3}\overrightarrow b  + k\overrightarrow c   \cr  & \overrightarrow {MQ}  =  - {1 \over 6}\overrightarrow a  - {1 \over 3}\overrightarrow b  \cr} \)

Các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có số x, y sao cho

\(\eqalign{& \overrightarrow {MP} = x\overrightarrow {MN} + y\overrightarrow {MQ} \cr & \Leftrightarrow - {2 \over 3}\overrightarrow a - {1 \over 3}\overrightarrow b + k\overrightarrow c \cr & = - {2 \over 3}x\overrightarrow a + {2 \over 3}x\overrightarrow c - {1 \over 6}y\overrightarrow a - {1 \over 3}y\overrightarrow b \cr} \)

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)  không đồng phẳng nên điều đó tương đương với:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{   - {2 \over 3}x - {1 \over 6}y =  - {2 \over 3} \hfill \cr   - {1 \over 3}y =  - {1 \over 3} \hfill \cr  {2 \over 3}x = k \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow y = 1,x = {3 \over 4},k = {1 \over 2} \cr} \)

Vậy khi \(k = {1 \over 2}\)  thì các điểm M, N, P, Q thuộc cùng một mặt phẳng.



Từ khóa phổ biến