Câu 2 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA và DC’ sao cho \(\overrightarrow {MC}  - m\overrightarrow {MA} ,\,\overrightarrow {N{\rm{D}}}  = m\overrightarrow {NC'} \). Xác định m để các đường thẳng MN và BD’ song song với nhau. Khi ấy, tính MN biết \(\widehat {ABC} = \widehat {ABB'} = \widehat {CBB'} = {60^0}\) và BA = a, BB’ = b, BC = c.

Lời giải chi tiết

Xác định m:

Đặt \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow a ,\,\overrightarrow {BB}  = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow c \)  thì \(\overrightarrow {B{\rm{D}}'}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow {c.} \)

Do \(\overrightarrow {MC}  = m\overrightarrow {MA} \)  nên  \(\overrightarrow {BM}  = {{\overrightarrow {BC}  - m\overrightarrow {BA} } \over {1 - m}} = {{\overrightarrow c  - m\overrightarrow a } \over {1 - m}}\)

Tương tự, ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {BN}  = {{\overrightarrow {B{\rm{D}}}  - m\overrightarrow {BC'} } \over {1 - m}} = {{\overrightarrow a  + \overrightarrow c  - m\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)} \over {1 - m}}  \cr  &  = {1 \over {1 - m}}\overrightarrow a  - {m \over {1 - m}}\overrightarrow b  + \overrightarrow c . \cr} \)

Từ đó

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {BM}   \cr  &  = {{1 + m} \over {1 - m}}\overrightarrow a  - {m \over {1 - m}}\overrightarrow b  - {m \over {1 - m}}\overrightarrow c . \cr} \)

Do AC, BD’ chéo nhau và DC’, BD’ chéo nhau nên

\(\eqalign{  & MN//B{\rm{D}}' \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow {B{\rm{D}}'}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b  + k\overrightarrow c  \cr} \)

Mặt khác \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng nên điều ấy xảy ra khi và chỉ khi:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  {{1 + m} \over {1 - m}} = k \hfill \cr   - {m \over {1 - m}} = k \hfill \cr   - {m \over {1 - m}} = k \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow 1 + m =  - m \Leftrightarrow m =  - {1 \over 2} \cr} \)

Từ đó, ta có \(k = {1 \over 3}\)

Vậy \(m =  - {1 \over 2}\) thì MN // BD’.

Tính MN:

Khi ấy \(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\)

do đó

\({\overrightarrow {MN} ^2} \)

hay \(M{N^2} = {1 \over 9}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + ac + bc} \right)\)

tức là \(MN = {1 \over 3}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca} \)