Câu 5 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng m, các góc tại A bằng 60⁰ \(\left( {\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {A'AB} = \widehat {A'A{\rm{D}}} = {{60}^0}} \right)\) . Gọi P và Q là các điểm xác định bởi \(\overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {D'A} ,\overrightarrow {C'Q}  = \overrightarrow {DC'} \). Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ.

Lời giải chi tiết

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow c \) .

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow b .\overrightarrow c  = \overrightarrow c .\overrightarrow a  = {1 \over 2}{m^2}\)

và \({\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2} = {m^2}\) .

Gọi M là trung điểm của BB’ thì

\(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AP} \).

Do \(\overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {D'A}  =  - \overrightarrow a  - \overrightarrow c \).

nên

 \(\eqalign{  & \overrightarrow {MP}  =  - {{\overrightarrow a } \over 2} - \overrightarrow b  - \overrightarrow a  - \overrightarrow c   \cr  &  =  - {3 \over 2}\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow c  \cr} \)

Mặt khác 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {C'Q} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DC'} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3 \over 2}\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \cr} \)

Như vậy \(\overrightarrow {MP}  =  - \overrightarrow {MQ} \) , tức là ba điểm P, M, Q thẳng hàng hay đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’.

Ta có: