Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng
\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \)
\(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Trước hết, ta chứng minh
\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\)
Đặt \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c \)
Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DJ} \cr & = - {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + \overrightarrow {AD} + {{\overrightarrow {DC} } \over 2} \cr & = - {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( {{{\overrightarrow c } \over 2}} \right) \cr & = {{ - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \over 2} \cr & {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} + 4{\overrightarrow {IJ} ^2} \cr & = {\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow c ^2} + {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)^2} \cr & = 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c \cr & {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} \cr & = {\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right)^2} + {\overrightarrow a ^2} \cr & = 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c \cr} \)
Vậy, ta có:
\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\)
Tương tự, ta có:
\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\)
\(= B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} + 4H{K^2}\)
\( A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \)
\(= A{C^2} + B{D^2} + 4E{F^2} \)
Từ đó suy ra:
\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2}\)
\(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\)
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao timdapan.com"