Câu 15 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA’, BC, C’D’ lần lượt tại M, N, P sao cho \(\overrightarrow {NM}  = 2\overrightarrow {NP} \) . Tính \({{MA} \over {MA'}}\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow c \) . Vì M thuộc đường thẳng AA’ nên

\(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AA'}  = k\overrightarrow c \).

N là điểm thuộc đường thẳng BC nên \(\overrightarrow {BN}  = l\overrightarrow a \);

P là điểm thuộc đường thẳng C’D’ nên \(\overrightarrow {C'P}  = m\overrightarrow b \)

Với k, l, m là những số thực.

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AM}  =  - l\overrightarrow a  - \overrightarrow b  + k\overrightarrow c   \cr  & \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {B'C'}  + \overrightarrow {C'P'}   \cr  &  =  - l\overrightarrow a  + \overrightarrow c  + \overrightarrow a  + m\overrightarrow b   \cr  &  = \left( {1 - l} \right)\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  + \overrightarrow c  \cr} \)

Do \(\overrightarrow {NM}  = 2\overrightarrow {NP} \)  nên ta có:

\(\left\{ \matrix{   - l = 2\left( {1 - l} \right) \hfill \cr   - 1 = 2m \hfill \cr  k = 2 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow k = 2,m =  - {1 \over 2},l = 2\)

Vậy \({{MA} \over {MA'}} = 2\)