Câu 5.48 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng nếu \(P\left( x \right)\) là một đa thức bậc ba và \(\alpha \) là một số thực bất kì ta có

\(P\left( {x + \alpha } \right) = P\left( \alpha  \right) + xP'\left( \alpha  \right) + {{{x^2}} \over 2}P"\left( \alpha  \right)) \)

\(+ {{{x^3}} \over 6}P'''\left( \alpha  \right),\) \(\left( {\forall x \in R} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta viết đa thức bậc ba \(P\left( x \right)\) dưới dạng

                                    \(P\left( x \right) = {a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{a_0} \ne 0} \right)\)

Ta có

\(\eqalign{& P'\left( x \right) = 3{a_0}{x^2} + 2{a_1}x + {a_2}  \cr& P''\left( x \right) = 6{a_0}x + 2{a_1}  \cr& P'''\left( x \right) = 6{a_0}. \cr} \)

Vậy

\(\eqalign{& {{{x^3}} \over 6}P'''\left( \alpha  \right) + {{{x^2}} \over 2}P''\left( \alpha  \right) + xP'\left( \alpha  \right) + P\left( \alpha  \right)  \cr&  = {a_0}{x^3} + \left( {3{a_0}\alpha  + {a_1}} \right){x^2} + \left( {3{a_0}{\alpha ^2}  + 2{a_1}\alpha  + {a_2}} \right)x\cr& + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha  + {a_3}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Mặt khác ta có

\(\eqalign{& P\left( {x + \alpha } \right) = {a_0}{\left( {x + \alpha } \right)^3} + {a_1}{\left( {x + \alpha } \right)^2} \cr&  \;\;\; + {a_2}\left( {x + \alpha } \right) + {a_3}  \cr&  = {a_0}\left( {{x^3} + 3\alpha {x^2} + 3{\alpha ^2}x + {\alpha ^3}} \right) \cr&\;\;\; + {a_1}\left( {{x^2} + 2\alpha x + {\alpha ^2}} \right) + {a_2}\left( {x + \alpha } \right) + {a_3}  \cr&  = {a_0}{x^3} + \left( {3{a_0}\alpha  + {a_1}} \right){x^2} + \left( {3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha  + {a_2}} \right)x \cr&\;\;\;  + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha  + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

So sánh (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh.

LG b

Xác định đa thức \(P\left( x \right)\) bậc ba biết \(P\left( 0 \right) = P'\left( 0 \right) = P"\left( 0 \right)=P'''\left( 0 \right)\,\, = 1\)

Lời giải chi tiết:

Khi \(\alpha  = 0,\) ta được

\(P\left( x \right) = P\left( 0 \right) + xP'\left( 0 \right) + {{{x^2}} \over 2}P''\left( 0 \right) + {{{x^3}} \over 6}P'''\left( 0 \right).\)

Vì \(P\left( 0 \right) = P'\left( 0 \right) = P''\left( 0 \right) = P'''\left( 0 \right) = 1\)

Nên đa thức tìm là \(P\left( x \right) = 1 + x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 6}\)