Câu 5.43 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hàm số

                \(f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}}\left( {x \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;k \in Z} \right)\) 

Chứng minh rằng

                        \(f'\left( x \right) = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\)

Lời giải chi tiết

Vì \(x \ne {\pi  \over 2} + k\pi ,k \in Z\) nên \(\cos x \ne 0.\) Xét hai trường hợp

+ Nếu \(\cos x > 0\) thì

                            \(f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}} = {1 \over {\cos x}}\)

Suy ra

            \(f'\left( x \right) =  - {{\left( { - \sin x} \right)} \over {{{\cos }^2}x}} = {{\sin x} \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {\cos x}}.\tan x = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Nếu \(\cos x < 0\) thì

                        \(f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}} = -{1 \over {\cos x}}\)

Suy ra

\(f'\left( x \right) =  - {{ - \sin x} \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {\cos x}}.\tan x = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(f'\left( x \right) = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\left( {x \ne {\pi  \over 2} + k\pi ,k \in Z} \right).\)