Câu 5.14 trang 181 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số

            \(f\left( x \right) = {{m{x^3}} \over 3} - {{m{x^2}} \over 2} + \left( {3 - m} \right)x - 2\)

Tìm m để

LG a

\(f'\left( x \right)\)  với mọi x;

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x \in R,\) ta có

              \(f'\left( x \right) = m{x^2} - mx + 3 - m.\)

Ta phải xét hai trường hợp sau đây

1. Với \(m = 0\) thì \(f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right).\) Vậy \(m = 0\) là một giá trị cần tìm.

2. Với \(m \ne 0\) (khi đó \(f'(x)\) là một tam thức bậc hai) thì ta phải tìm \(m\) sao cho

\(\left\{ \matrix{m > 0 \hfill \cr\Delta  = {m^2} - 4\left( {3 - m} \right) = m\left( {5m - 12} \right) < 0 \hfill \cr}  \right.\)

\(\Leftrightarrow 0 < m < {{12} \over 5}\)

Vậy các giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiên của bài toán là \(0 \le m < {{12} \over 5}.\)

Chú ý. Không được phép hai trường hợp 1 và 2 (vì trong trường hợp 1, \(f\left( x \right)\) không phải là một tam thức bậc hai nên không áp đụngk được định lí về dấu của tam thức bậc hai).

LG b

\(f'\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu;

Lời giải chi tiết:

Để \(f'(x)\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì phải tìm \(m\) sao cho tam thức bậc haicó hai nghiệm phân biệt và tích của chúng là \(P = {c \over a} > 0\) (hay số 0 nằm ngoài hai nghiệm) tức là

\(\left\{ \matrix{m \ne 0 \hfill \cr\Delta  = m\left( {5m - 12} \right) > 0 \hfill \cr{{3 - m} \over m} > 0\,\,\,\left( {hay\,\,m\left( {3 - m} \right) > 0} \right) \hfill \cr}  \right.\)

\(\Leftrightarrow {{12} \over 5} < m < 3.\)

LG c

 Chứng minh rằng trong trường hợp  có hai nghiệm(hai nghiệm có thể trùng nhau) thì các nghiệm thỏa mãn một hệ thức độc lập với m.

Lời giải chi tiết:

Vì có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) nên ta có

\(\left\{ \matrix{m \ne 0 \hfill \cr\Delta  \ge 0 \hfill \cr{x_1} + {x_2} = {m \over m} = 1 \hfill \cr{x_1}{x_2} = {{3 - m} \over m} \hfill \cr}  \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m < 0\text{ hoặc }m \ge {2 \over 5} \hfill \cr{x_1} + {x_2} = 1. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy hệ thức phải tìm là \({x_1} + {x_2} = 1.\)