Câu 5.12 trang 180 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng đạo hàm của hàm số chẵn là hàm số lẻ và đạo hàm của hàm số lẻ là hàm số chẵn, biết rằng các hàm số đó có đạo hàm trên R.

Lời giải chi tiết

- Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn trên R, khi đó ta có

             \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\left( {\forall x \in R} \right)\)

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên, ta được

                        \(f'\left( x \right) = f'\left( { - x} \right)\,.\left( { - x} \right)' \Leftrightarrow \,f'\left( x \right) =  - f'\left( { - x} \right)\)

Do đó \(f'\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên R

- Chứng minh tương tự cho trường hợp \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên R