Câu 4.67 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình

                         \({x^3} + 1000{x^2} + 0,1 = 0\)

Có ít nhất một nghiệm âm.

Lời giải chi tiết

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 1000{x^2} + 0,1\)  liên tục trên R. Ta có \(f\left( 0 \right) = 0,1 > 0.\)  Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty \)  nên tồn tại một số âm a sao cho \(f\left( a \right) < 0.\) Vì \(f\left( 0 \right)f\left( a \right) < 0\)  nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in \left( {a;0} \right)\)  sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)  Số \(x = c\) là một nghiệm âm của phương trình đã cho.