Câu 4.63 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hàm số \(f:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {0;1} \right]\) liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left[ {0;1} \right]\) sao cho \(f\left( c \right) = c.\)

Lời giải chi tiết

Nếu \(f\left( 0\right) = 0\) hoặc \(f\left( 1 \right) = 1\) thì hiển nhiên điều khẳng định là đúng.

Giả sử \(f\left( 0 \right) \ne 0\) và \(f\left( 1 \right) \ne 1.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x,x \in \left[ {0;1} \right].\)  Hàm số \(g\)  liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right].\) Vì mọi \(x \in \left[ {0;1} \right],0 \le f\left( x \right) \le 1\) nên \(f\left( 0 \right) > 0\)  và \(f\left( 1 \right) < 1.\) Do đó

\(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - 0 > 0\)  và \(g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - 1 < 0.\)

Vì \(g\left( 0 \right),g\left( 1 \right) < 1\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left( {0;1} \right)\) sao cho \(g\left( c \right) = f\left( c \right) - c = 0,\) tức là \(f\left( c \right) = c.\)