Câu 4.66 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tìm số thực a sao cho hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
\,\,\,\,\,\,{a^2}{x^2}\text{ với }x \le 2 \hfill \cr 
\left( {1 - a} \right)x\text{ với }x > 2 \hfill \cr} \right.\)

Liên tục trên R .

Lời giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{a^2}{x^2}} \right) = 4{a^2} = f\left( 2 \right)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {1 - a} \right)x = 2\left( {1 - a} \right).\)

Hàm số \(f\)  liên tục tại đểm \(x = 2\)  khi và chỉ khi

\(4{a^2} = 2\left( {1 - a} \right) \Leftrightarrow 2{a^2} + a - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1, \hfill \cr 
a = {1 \over 2}. \hfill \cr} \right.\)

Hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\) khi và chỉ khi

                        \(a =  - 1\)  hoặc \(a = {1 \over 2}.\)

Hiển nhiên hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne 2\)  với mọi a.

Vậy hàm số \(f\)  liên tục trên R  khi và chỉ khi

                        \(a =  - 1,a = {1 \over 2}.\)