Bài tập 9 trang 134 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tái phân giác của góc B cắt CD ở F.

a) Chứng minh rằng DE // BF.

b) Tứ giác DEBF là hình gì ?

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BD và EF đồng quy.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (tứ giác ABCD là hình bình hành)

\(\widehat {ABF} = \widehat {{{ABC} \over 2}}\) (BF là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) ) và \(\widehat {CDE} = {{\widehat {ADC}} \over 2}\) (DE là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\))

\( \Rightarrow \widehat {ABF} = \widehat {CDE}\)

Mà \(\widehat {ADE} = \widehat {CDE}\) (hai góc so le trong và AB // CD)

Nên \(\widehat {ABF} = \widehat {AED}\).

Lại có \(\widehat {ABF}\) và \(\widehat {AED}\) là hai góc đồng vih

\( \Rightarrow DE//BF\).

b) Tứ giác DEBF có DE // BF và EB // DF (AB // CD)

Do đó tứ giác DEBF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

c) Gọi I là giao điểm của AC và BD (1)

Mà AC, BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD

Nên I là trung điểm của AC và BD.

Hình bình hành DEBF có I là trung điểm của BD nên I là trung điểm của EF.

\( \Rightarrow EF\) qua I (2)

Từ (1) và (2) ta có AC, BD và EF đồng quy tại I.