Bài tập 10 trang 134 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của AK và CI với BD.

a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng DE = EF = FB.

c) Chứng minh ba đường AC, IK, EF đồng quy.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(AI = {1 \over 2}AB\) (I là trung điểm của AB),

\(CK = {1 \over 2}CD\) (K là trung điểm của CD)

Và \(AB = CD\) (ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow AI = CK\)

Mà AI // CK \((AB // CD, I \in AB,\,\,K \in CD)\)

Do đó tứ giác AICK là hình bình hành.

b) \(\Delta ABE\) có I là trung điểm của AB và \(IF // AE\)

Nên F là trung điểm của EB \( \Rightarrow BF = EF\,\,\left( 1 \right)\)

\(\Delta DCF\) có EK // FC và K là trung điểm của CD

Nên E là trung điểm của DF \( \Rightarrow DE = EF\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(DE = EF = BF\).

c) Gọi H là giao điểm của AC và BD (3)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của AC (ABCD là hình bình hành)

Hình bình hành AICK có H là trung điểm của AC nên H là trung điểm của IK.

\( \Rightarrow IK\) đi qua H (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow AC,IK,EF\) đồng quy tại H.