Bài tập 36 trang 125 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Trung tuyến BM và CN cắt nhau tại H.

a) Chứng minh BM = CN

b) Chứng minh tam giác BHC cân.

c) Cho biết AH = 8 cm, BC  = 18 cm. Tính AB.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AN{\rm{ }} = {\rm{ }}BN{\rm{ }} = {{AB} \over 2}\) (N là trung điểm của AB)

\(AM = MC = {{AB} \over 2}\) (M là trung điểm của AC)

AB = AC (∆ABC cân tại A)

Do đó AN = AM = BN = MC.

Xét ∆BMA và ∆CNA ta có: AB = AC (∆ABC cân tại A)

\(\widehat {BAM}\) chung

AM = AN

Do đó: ∆BMA = ∆CAN (c.g.c) => BM = CN.

b) Xét ∆BMC và ∆CNB ta có: BC (cạnh chung)

MC = BN

BM = CN (câu a)

Do đó: ∆BMC = ∆CNB (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {HBC} = \widehat {HCB}\). Vậy ∆BHC cân tại H.

c) Gọi I là giao điểm của AH và BC

∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại H (gt)

=> H là trọng tâm của ∆ABC

=> AI là đường trung tuyến của ∆ABC (vì AI đi qua H)

Ta có \(AH = {2 \over 3}AI \Rightarrow AI = {3 \over 2}AH = {3 \over 2}.8 = 12(cm)\)

Vì I là trung điểm của BC \( \Rightarrow BI = {{BC} \over 2} = {{18} \over 2} = 9(cm)\)

∆ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến

Nên AI là đường cao \( \Rightarrow AI \bot BC\) tại I

Xét ∆ABI vuông tại I => AB² = AI² + BI² (định lí Pythagore)

Nên AB² = 12² + 9² = 225.

Do đó AB² = 15². Vậy AB = 15 (cm).