Bài tập 10 trang 128 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF . Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải chi tiết

Xét ∆ACF (\(\widehat F = 90^\circ\)) và ∆ADC (\(\widehat D = 90^\circ\)) có AC (cạnh chung) và CF = AD (gt)

Do đó: ∆ACF = ∆CAD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

\( \Rightarrow \widehat {CAF} = \widehat {ACD}\) hay \(\widehat {CAB} = \widehat {ACB}\) (1)

Xét ∆BEC (\(\widehat E = 90^\circ\)) và ∆BFC (\(\widehat F = 90^\circ\))

Ta có: BC (cạnh chung)

BE = CF (gt)

Do đó: ∆BEC = ∆CFB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ABC}\) (2)

Xét ∆BEA (\(\widehat E = 90^\circ\)) và ∆ABD (\(\widehat D = 90^\circ\)) có AB (cạnh chung) và BE = AD (gt)

Do đó: ∆BEA = ∆ADB (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ABC}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {CAB} = \widehat {ACB} = \widehat {ABC}\) => ∆ABC đều.